Неједнакост

У математици, неједнакост је исказ о релативној величини или реду два предмета, или о томе да ли они исти или нису (Такође погледајте: једнакост)

Ознака a < b значи да је a мање од b.
Ознака a > b значи да је a веће од b.
Ознака a ≠ b значи да је a није једнако са b, али не говори да је једно веће од другог, или чак да се могу поредити по величини.

У свим овим случајевима, a није једнако са b, па постоји „неједнакост“.

Ове релације се познате као строге неједнакости

Ознака a ≤ b значи да је a мање или једнако са b (или, еквивалентно, не веће од b);
Ознака a ≥ b значи да је a веће или једнако са b (или, еквивалентно, не мање од b);

Постоје и ознаке којим се говори да је једна величина много већа од друге, најчешће за неколико редова величине.

Ознака a ≪ b значи да је a много мање од b.
Ознака a ≫ b значи да је a много веће од b.

Ако је смисао неједности исти за све вредности променљивих за које су чланови неједнакости дефинисани, тада се неједнакост назива „апсолутном“ или „безусловном“ неједнакошћу. Ако смисао неједнакости важи само са одређене вредности променљивих, али је супротна или се поништава за друге вредности тих променљивих, тада се то назива „условна неједнакост“.

Графика решења система линераних неједнакости.

Неједнакостима се манипулише следећи особине. Ваља имати у виду да је за особине транзитивности, преокрета, сабирања, одузимања, множења и дељења, особина, такође, важи и када се знаци строге неједнакости (< и >) замене њиховим одговарајућим нестрогим знаковима неједнакости (≤ и ≥).

Особина трихотомије каже да је:

За све реалне бројеве, a и b, тачно једно, од следећег, је тачно:

- a < b
- a = b ** a > b

Транзитивност неједнакости каже да је:

За све реалне бројеве, a, b, c:

- Ако је a > b и b > c; тада је a > c
- Ако је a < b и b < c; тада је a < c

Особине везане за сабирање и одузимање кажу да је:

За све реалне бројеве, a, b, c:
- Ако је a < b, тада је a + c < b + c i a − c < b − c
- Ако је a > b, тада је a + c > b + c и a − c > b − c

то јест, реални бројеви су уређена група.

Особине везане за множење и дељење кажу да је:

За све реалне бројеве, a, b и c различит од нуле:

- Ако је c позитиван и a < b, тада је ac < bc и a/c < b/c
- Ако је c негативан и a < b, тада је ac > bc и a/c > b/c

Општије, ово важи за уређено поље.

Особине за адитивни инверз кажу да је:

За све реалне бројеве a и b

- Ако је a < b, тада је −a > −b
- Ако је a > b, тада је −a < −b

За све реалне бројеве a и b, који су или оба позитивни или оба негативни
- Ако је a < b, тада је 1/a > 1/b
- Ако је a > b, тада је 1/a < 1/b

ако су или a или b негативни (али не оба), и b је различито од нуле, онда:
- Ако је a < b, тада је 1/a < 1/b
- Ако је a > b, тада је 1/a > 1/b

Постоји много неједнакости између средњих вредности. На пример, за било које позитивне бројеве a₁, a₂, …, a_n, важи да је x ≤ G ≤ a ≤ Q, где је

$H = \frac{n}{1/a_1 + 1/a_2 + \cdots + 1/a_n}$	(хармонијска средина),
$G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}$	(геометријска средина),
$A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$	(аритметичка средина),
$Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}$	(квадратна средина).

Понекад са ознаком „степена неједнакост“ подразумевају једнакости које садрже израз типа a^b, где су a и b реални позитивни бројеви или изрази неких променљивих.

Ако је x > 0, тада је

x^x \ge \left(\frac{1}{e}\right)^{1/e}.\,

Ако је x > 0, тада је

x^{x^x} \ge x.\,

Ако је x, y, z > 0, тада је

(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2.\,

За било која два различита број a и b,

\frac{e^b-e^a}{b-a} > e^{(a+b)/2}.

Ако је x, y > 0 и 0 < p < 1, tada je

(x+y)^p < x^p+y^p.\,

Ако је x, y, z > 0, тада је

x^x y^y z^z \ge (xyz)^{(x+y+z)/3}.\,

Ако је a, b>0, тада је

a^b + b^a > 1.\,

Овај резултат уопштио је Р. Озолс 2002. године, када је доказато да ако је a₁, …, a_n > 0, тада је

a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1

(резултат је објевљен у летонском научном часопису звездано небо; погледајте референце).

Скуп комплексних бројеваs $\mathbb{C}$ са својим операцијама сабирања и множења је поље, али није могуће дефинисати ниједну релацију ≤ тако да $(\mathbb{C},+,\times,\le)$ постане уређено поље. Да би $(\mathbb{C},+,\times,\le)$ постало уређено поље, оно мора да задовољи следећа два услова:

ако је a ≤ b тада је a + c ≤ b + c
ако је 0 ≤ a и 0 ≤ b тада је 0 ≤ a b

Пошто је ≤ тотално уређење, за свако a, или је 0 ≤ a или је a ≤ 0 (у том случају прва особина имплицира да је 0 ≤ $-a$ ). У оба случаја је 0 ≤ a²; ово значи да је $i^2>0$ и $1^2>0$ ; па је $-1>0$ и $1>0$ , што значи да је $(-1+1)>0$ , што је контрадикција.

Међутим, оператор ≤ се може дефинисати тако да задовољава први услов („ако је a ≤ b тада је a + c ≤ b + c“). Понекад се користи лексикографски поредак:

a ≤ b ако је $Re(a)$ < $Re(b)$ или ( $Re(a) = Re(b)$ и $Im(a)$ ≤ $Im(b)$ )

Може се лако доказати да за ову дефиницију a ≤ b имплицира a + c ≤ b + c.

Релације нејаднакости сличне оним дефинисаним горе се могу такође дефинисати за вектор колону. Ако се узму вектори $x,y\in\mathbb{R}^n$ (што значи да је $x = \left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)^T$ и $y = \left(y_1,y_2,\ldots,y_n\right)^T$ где су $x_i$ и $y_i$ реални бројеви за $i=1,\ldots,n$ ), могу се дефинисати следеће релације:

$x = y \$ ако је $x_i = y_i\$ за $i=1,\ldots,n$
$x < y \$ ако је $x_i < y_i\$ за $i=1,\ldots,n$
$x \leq y$ ако је $x_i \leq y_i$ за $i=1,\ldots,n$ and $x \neq y$
$x \leqq y$ ако је $x_i \leq y_i$ за $i=1,\ldots,n$

Слично томе, могу се дефинисати релације за $x > y$ , $x \geq y$ , и $x \geqq y$ .

Може се уочити да је особина трихотомије није валидна за векторске релације. Ако се размотри случај где је $x = \left[ 2, 5 \right]^T$ и $y = \left[ 3, 4 \right]^T$ , види се да не постоји велидан однос неједнакости између ова два вектора. Такође неопходно је да се дефинише мултипликативни инверз пре него што се овај услов размотри. Међутим, за остатак горе поменутих особина, постоји паралелна особина за векторске неједнакости.

Главни чланак: Списак неједнакости

Математичари често користе неједнакости да ограниче величине за које се тачне формуле не могу израчунати лако. Неке неједнакости се користе тако често, да чак имају своје називе: